题目内容

已知椭圆
x2
16
+
y2
12
=1，点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，Q为射线F1P延长线上一点，且|PQ|=|PF2|，设R为F2Q的中点．
（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+4
2
）与曲线C相交于A、B两点，若∠AOB=90°时，求k的值．
（1）F1（-2，0），F2（2，0）设R（x，y），Q（x1，y1）．∵|PQ|=|PF2|，
∴|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=8，则（x1+2）2+y12=64．（4分）
又
x=
x1-2
2
y=
y1
2
得x1=2x-2，y1=2y．
∴（2x）2+（2y）2=64，故R的轨迹方程为：x2+y2=16（7分）
（2）如图，当∠AOB=90°时，
在Rt△AOC中，∠AOC=45°，此时弦心距|OC|=2
2

又|OC|=
|4
2
k|
1+k2
．由
|4
2
k|
1+k2
=2
2
得k=±
3
3
．（12分）
练习册系列答案
相关题目
若点（3，1）是抛物线y2=2px（p＞0）的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p=______．
已知椭圆E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e=
3
2
，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．
在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为
10
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且点P（0，1）在C1上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．
已知动圆过定点D（1，0），且与直线l：x=-1相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C；
（2）过定点D（1，0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：∠AED=∠BED．
F1，F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，Q是双曲线上动点，从左焦点引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（　　）的一部分．
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
已知点P（x，y）满足椭圆方程2x2+y2=1，则
y
x-1
的最大值为______．
已知曲线C?x2-y2=1及直线l：y=kx-1．
（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为
2
，求实数k的值．

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