题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且点P（0，1）在C1上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．
（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（-1，0），所以c=1，
点P（0，1）代入椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1，得
1
b2
=1，即b=1，
所以a2=b2+c2=2
所以椭圆C1的方程为
x2
2
+y2=1．
（2）直线l的斜率显然存在，
设直线l的方程为y=kx+m，
由
x2
2
+y2=1
y=kx+m
，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
因为直线l与椭圆C1相切，
所以△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=0
整理得2k2-m2+1=0①
由
y2=4x
y=kx+m
，消去y并整理得k2x2+（2km-4）x+m2=0
因为直线l与抛物线C2相切，所以△=（2km-4）2-4k2m2=0
整理得km=1②
综合①②，解得
k=
2
2
m=
2
或
k=-
2
2
m=-
2

所以直线l的方程为y=
2
2
x+
2
或y=-
2
2
x-
2
．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，一条准线方程为x=4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值．
若直线y=-x+m与曲线y=
5-
1
4
x2
只有一个公共点，则m的取值范围是（　　）
A．-1≤m＜2B．-2
5
≤m≤2
5
C．-2≤m＜2或m=5D．-2
5
≤m≤2
5
或m=5
已知双曲线与椭圆
x2
4
+y2=1共焦点，它们的离心率之和为
3
3
2
；
（1）求椭圆与双曲线的离心率e1、e2；
（2）求双曲线的标准方程与渐近线方程；
（3）已知直线l：y=
1
2
x+m与椭圆有两个交点，求m的取值范围．
已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；
（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
已知椭圆
x2
16
+
y2
12
=1，点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，Q为射线F1P延长线上一点，且|PQ|=|PF2|，设R为F2Q的中点．
（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+4
2
）与曲线C相交于A、B两点，若∠AOB=90°时，求k的值．
已知两点M（-1，0）、N（1，0），动点P（x，y）满足|
MN
|•|
NP
|-
MN
•
MP
=0，
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）假设P1、P2是轨迹C上的两个不同点，F（1，0），λ∈R，
FP1
=λ
FP2
，求证：
1
|FP1|
+
1
|FP2|
=1．
如图，圆O与离心率为
3
2
的椭圆T：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．
（1）求椭圆T与圆O的方程；
（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．
①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求
d21
+
d22
的最大值；
②若3
MA
•
MC
=4
MB
•
MD
，求l1与l2的方程．
已知直线L过点P（2，0），斜率为
4
3
，直线L和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：
（1）P，M两点间的距离/PM/：（2）M点的坐标；（3）线段AB的长．

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