题目内容
在平面直角坐标系中,已知焦距为4的椭圆C:
+
=1(a>b>0)左、右顶点分别为A、B,椭圆C的右焦点为F,
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S,若线段RS的长为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(t,m)是直线x=9上的点,直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N,求证:直线MN必过x轴上的一定点,并求出此定点的坐标.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S,若线段RS的长为
10 |
3 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(t,m)是直线x=9上的点,直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N,求证:直线MN必过x轴上的一定点,并求出此定点的坐标.
(1)依题意,椭圆过点(2,
),
故
,
解得
.…(3分)
椭圆C的方程为
+
=1.…(4分)
(2)设Q(9,m),直线QA的方程为y=
(x+3),…(5分)
代入椭圆方程,得(80+m2)x2+6x+9m2-720=0,…(6分)
设M(x1,y1),则-3x1=
⇒x1=
,…(7分)
y1=
(x1+3)=
(
+3)=
,
故点M的坐标为(
,
).…(8分)
同理,直线QB的方程为y=
(x-3),
代入椭圆方程,得(20+m2)x2-6x+9m2-180=0,
设N(x2,y2),
则3x2=
⇒x2=
,
y2=
(x2-3)=
(
-3)=-
.
得点N的坐标为(
,-
).…(10分)
①若
=
⇒m2=40时,
直线MN的方程为x=1,与x轴交于(1,0)点;
②若m2≠40,直线MN的方程为y+
=
(x-
),
令y=0,解得x=1.
综上所述,直线MN必过x轴上的定点(1,0).…(12分)
5 |
3 |
故
|
解得
|
椭圆C的方程为
x2 |
9 |
y2 |
5 |
(2)设Q(9,m),直线QA的方程为y=
m |
12 |
代入椭圆方程,得(80+m2)x2+6x+9m2-720=0,…(6分)
设M(x1,y1),则-3x1=
9m2-720 |
m2+80 |
240-3m2 |
m2+80 |
y1=
m |
12 |
m |
12 |
240-3m2 |
m2+80 |
40m |
m2+80 |
故点M的坐标为(
240-3m2 |
m2+80 |
40m |
m2+80 |
同理,直线QB的方程为y=
m |
6 |
代入椭圆方程,得(20+m2)x2-6x+9m2-180=0,
设N(x2,y2),
则3x2=
9m2-180 |
m2+20 |
3m2-60 |
m2+20 |
y2=
m |
6 |
m |
6 |
3m2-60 |
m2+20 |
20m |
m2+20 |
得点N的坐标为(
3m2-60 |
m2+20 |
20m |
m2+20 |
①若
240-3m2 |
m2+80 |
3m2-60 |
m2+20 |
直线MN的方程为x=1,与x轴交于(1,0)点;
②若m2≠40,直线MN的方程为y+
20m |
m2+20 |
10m |
40-m2 |
3m2-60 |
m2+20 |
令y=0,解得x=1.
综上所述,直线MN必过x轴上的定点(1,0).…(12分)
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