题目内容
在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为
| 10 |
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．
（1）依题意，椭圆过点(2，
)，
故
，
解得
．…（3分）
椭圆C的方程为
+
=1．…（4分）
（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=
(x+3)，…（5分）
代入椭圆方程，得（80+m2）x2+6x+9m2-720=0，…（6分）
设M（x1，y1），则-3x1=
⇒x1=
，…（7分）
y1=
(x1+3)=
(
+3)=
，
故点M的坐标为(
，
)．…（8分）
同理，直线QB的方程为y=
(x-3)，
代入椭圆方程，得（20+m2）x2-6x+9m2-180=0，
设N（x2，y2），
则3x2=
⇒x2=
，
y2=
(x2-3)=
(
-3)=-
．
得点N的坐标为(
，-
)．…（10分）
①若
=
⇒m2=40时，
直线MN的方程为x=1，与x轴交于（1，0）点；
②若m2≠40，直线MN的方程为y+
=
(x-
)，
令y=0，解得x=1．
综上所述，直线MN必过x轴上的定点（1，0）．…（12分）
| 5 |
| 3 |
故
|
解得
|
椭圆C的方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=
| m |
| 12 |
代入椭圆方程，得（80+m2）x2+6x+9m2-720=0，…（6分）
设M（x1，y1），则-3x1=
| 9m2-720 |
| m2+80 |
| 240-3m2 |
| m2+80 |
y1=
| m |
| 12 |
| m |
| 12 |
| 240-3m2 |
| m2+80 |
| 40m |
| m2+80 |
故点M的坐标为(
| 240-3m2 |
| m2+80 |
| 40m |
| m2+80 |
同理，直线QB的方程为y=
| m |
| 6 |
代入椭圆方程，得（20+m2）x2-6x+9m2-180=0，
设N（x2，y2），
则3x2=
| 9m2-180 |
| m2+20 |
| 3m2-60 |
| m2+20 |
y2=
| m |
| 6 |
| m |
| 6 |
| 3m2-60 |
| m2+20 |
| 20m |
| m2+20 |
得点N的坐标为(
| 3m2-60 |
| m2+20 |
| 20m |
| m2+20 |
①若
| 240-3m2 |
| m2+80 |
| 3m2-60 |
| m2+20 |
直线MN的方程为x=1，与x轴交于（1，0）点；
②若m2≠40，直线MN的方程为y+
| 20m |
| m2+20 |
| 10m |
| 40-m2 |
| 3m2-60 |
| m2+20 |
令y=0，解得x=1．
综上所述，直线MN必过x轴上的定点（1，0）．…（12分）
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