题目内容

在平面直角坐标系中,已知焦距为4的椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
左、右顶点分别为A、B,椭圆C的右焦点为F,
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S,若线段RS的长为
10
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(t,m)是直线x=9上的点,直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N,求证:直线MN必过x轴上的一定点,并求出此定点的坐标.
(1)依题意,椭圆过点(2,
5
3
)

4
a2
+
25
9b2
=1
a2-b2=4

解得
a2=9
b2=5
.…(3分)
椭圆C的方程为
x2
9
+
y2
5
=1
.…(4分)
(2)设Q(9,m),直线QA的方程为y=
m
12
(x+3)
,…(5分)
代入椭圆方程,得(80+m2)x2+6x+9m2-720=0,…(6分)
设M(x1,y1),则-3x1=
9m2-720
m2+80
x1=
240-3m2
m2+80
,…(7分)
y1=
m
12
(x1+3)=
m
12
(
240-3m2
m2+80
+3)=
40m
m2+80

故点M的坐标为(
240-3m2
m2+80
40m
m2+80
)
.…(8分)
同理,直线QB的方程为y=
m
6
(x-3)

代入椭圆方程,得(20+m2)x2-6x+9m2-180=0,
设N(x2,y2),
3x2=
9m2-180
m2+20
x2=
3m2-60
m2+20

y2=
m
6
(x2-3)=
m
6
(
3m2-60
m2+20
-3)=-
20m
m2+20

得点N的坐标为(
3m2-60
m2+20
,-
20m
m2+20
)
.…(10分)
①若
240-3m2
m2+80
=
3m2-60
m2+20
m2=40
时,
直线MN的方程为x=1,与x轴交于(1,0)点;
②若m2≠40,直线MN的方程为y+
20m
m2+20
=
10m
40-m2
(x-
3m2-60
m2+20
)

令y=0,解得x=1.
综上所述,直线MN必过x轴上的定点(1,0).…(12分)
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