题目内容

已知椭圆E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e=
3
2
，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．
（Ⅰ）∵椭圆E的离心率e=
3
2
，
∴
a2-1
a
=
3
2
，
解得a=2，
故椭圆E的方程为
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）联立方程
x2
4
+y2=1
x=2t
，得
x=2t
y=±
1-t2
，
即M，N的坐标分别为（2t，
1-t2
），（2t，-
1-t2
），
∵圆C的直径为MN，且与y轴相切，
∴2t=
1-t2
，∵t＞0，∴t=
5
5
．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得△OMN的面积S=
1
2
×2t×2
1-t2
≤2×
t2+1-t2
2
=1，
当且仅当t=
1-t2
即t=
2
2
时，等号成立，
故△OMN的面积的最大值为1．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
2
+y2=1，其右焦点为F，直线l经过点F与椭圆交于A，B两点，且|AB|=
4
2
3
．
（1）求直线l的方程；
（2）求△OAB的面积．
设抛物线y2=2px（p为常数）的准线与X轴交于点K，过K的直线l与抛物线交于A、B两点，则
OA
•
OB
=______．
若椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距为2
5
，且过点（-3，2），⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为（x-8）2+（y-6）2=4，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；
（3）求
OA
•
OB
的最大值．
若直线y=-x+m与曲线y=
5-
1
4
x2
只有一个公共点，则m的取值范围是（　　）
A．-1≤m＜2B．-2
5
≤m≤2
5
C．-2≤m＜2或m=5D．-2
5
≤m≤2
5
或m=5
如图，已知点A是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右顶点，若点C(
3
2
，
3
2
)在椭圆上，且满足
OC
•
OA
=
3
2
．（其中O为坐标原点）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆交于两点M，N，当
OM
+
ON
=m
OC
，m∈(0，2)时，求△OMN面积的最大值．
已知双曲线与椭圆
x2
4
+y2=1共焦点，它们的离心率之和为
3
3
2
；
（1）求椭圆与双曲线的离心率e1、e2；
（2）求双曲线的标准方程与渐近线方程；
（3）已知直线l：y=
1
2
x+m与椭圆有两个交点，求m的取值范围．
已知椭圆
x2
16
+
y2
12
=1，点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，Q为射线F1P延长线上一点，且|PQ|=|PF2|，设R为F2Q的中点．
（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+4
2
）与曲线C相交于A、B两点，若∠AOB=90°时，求k的值．
如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p＞0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．
（1）写出直线l的截距式方程；
（2）证明：
1
y1
+
1
y2
=
1
b
；
（3）当a=2p时，求∠MON的大小．

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