题目内容

【题目】如图,在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1 , AD1 , BD的中点.

(1)求证:PQ∥平面DCC1D1
(2)求PQ的长;
(3)求证:EF∥平面BB1D1D.

【答案】
(1)证明:如图所示,连接AC,CD1

∵P,Q分别为AD1、AC的中点,

∴PQ∥CD1

∵CD1平面DCC1D1,PQ平面DCC1D1

∴PQ∥平面DCC1D1


(2)解:由题意,可得:PQ= = a.


(3)证明:取CD中点G,连结EG、FG,

∵E,F分别是BC,C1D1的中点,

∴FG∥D1D,EG∥BD,

又FG∩EG=G,

∴平面FGE∥平面BB1D1D,

∵EF平面FGE,

∴EF∥平面BB1D1D


【解析】(1)连接AC,CD1 , 由P,Q分别为AD1、AC的中点,知PQ∥CD1 , 由此能够证明PQ∥平面DCC1D1 . (2)利用(1)的结论,直接求解即可.(3)取CD中点G,连结EG、FG,由已知得平面FGE∥平面BB1D1D,由此能证明EF∥平面BB1D1D.

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