Question

【题目】已知函数f（x）=2x+2ax+b ， 且 ， ．
（Ⅰ）求实数a，b的值并判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2x+2ax+b ， 且 ， ．∴2+2a+b= ，22+22a+b= ，
即a+b=﹣1，2a+b=﹣2，
解得：a=﹣1，b=0，
故f（x）=2x+2﹣x ，
∴f（﹣x）=f（x），
故函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）函数f（x）在[0，+∞）为增函数，理由如下：
∵f′（x）=ln22x+ln 2﹣x ，
当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0恒成立，
故函数f（x）在[0，+∞）上的单调性
【解析】（Ⅰ）由已知中 ， ，构造方程，可解得实数a，b的值，根据奇偶性的定义，可判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）函数f（x）在[0，+∞）上的单调递增，利用导数法，可证得结论．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数的奇偶性，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能得出正确答案．