Question

【题目】已知数列{an}满足an+1=2an+n﹣1，且a1=1．
（Ⅰ）求证：{an+n}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵an+1=2an+n﹣1，
∴ = =2，
∴数列{an+n}为等比数列；
（Ⅱ）解：∵a1+1=2，
∴数列{an+n}是首项、公比均为2的等比数列，
∴an+n=2n ， 即an=﹣n+2n ，
∴Sn=﹣（1+2+…+n）+（21+22+…+2n）
=﹣ +
=2n+1﹣ ﹣2
【解析】（Ⅰ）利用an+1=2an+n﹣1化简 即得结论；（Ⅱ）通过a1=1可知数列{an+n}是首项、公比均为2的等比数列，进而可求出数列{an}的通项公式，进而利用分组法求和计算即得结论．
【考点精析】掌握等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和是解答本题的根本，需要知道通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．