Question

【题目】如图，已知点E是圆心为O1半径为2的半圆弧上从点B数起的第一个三等分点，点F是圆心为O2半径为1的半圆弧的中点，AB、CD分别是两个半圆的直径，O1O2＝2，直线O1O2与两个半圆所在的平面均垂直，直线AB、DC共面.

（1）求三棱锥D﹣ABE的体积；

（2）求直线DE与平面ABE所成的角的正切值；

（3）求直线AF与BE所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

由题意知,即为所求三棱锥的高,代入三棱锥的体积公式求解即可;

以O1为坐标原点,，，分别为x、y、z轴的正向，建立空间直角坐标系如图所示,利用空间向量法分别求出面ABE的法向量和向量的坐标,向量与向量的夹角余弦即为直线DE与平面ABE所成的角的正弦值,进而求出正切值即可;

以O1为坐标原点,，，分别为x、y、z轴的正向，建立空间直角坐标系如图所示,利用空间向量法,向量所成角的余弦值的绝对值即为所求.

（1）∵，O1E＝2，

∴，

∵直线O1O2与两个半圆所在的平面均垂直，直线AB、DC共面，

∴三棱锥D﹣ABE的高等于O1O2＝2，

所以.

（2）以O1为坐标原点,，，分别为x、y、z轴的正向

建立空间直角坐标系如图所示:

则，D（-1,0，2），E，

,

由题意可知,平面ABE的一个法向量为（0，0，1），

设直线DE与平面ABE所成的角为θ，

则sinθ，

因为.∴，

所以即为所求.

（3）以O1为坐标原点,，，分别为x、y、z轴的正向,

建立空间直角坐标系如图所示:

则A（﹣2，0，0），B（2，0，0），E，F（0，1，2），

所以（2，1，2），，

设直线AF与BE所成角为θ，

则cosθ.

∴直线AF与BE所成角的余弦值为.