题目内容
【题目】已知,函数
,
.
(1)求的单调区间
(2)讨论零点的个数
【答案】(1)在区间,
上是增函数;(2)见解析
【解析】
(1)先求导,再根据导数正负判断函数增减性
(2)先对求导,可判断
单调递增,再通过赋值
和
可判断存在实数
,使得
,再通过讨论在零点处的最小值是小于零还是大于零来进一步判断
零点个数
(1)的定义域为
,且
,则
,
,
当时,
,
是减函数; 当
时,
,
是增函数
所以,所以在
上,
,
所以在区间
,
上是增函数.
(2)由题意知,
令,因为
,
所以在
上单调递增.
又,
.
所以存在实数,使得
.
在上,
,
是减函数;在
上,
,
是增函数.
所以的最小值是
,其中
满足
,即
,
所以
①当,即
时,
的最小值为0,此时
有一个零点;
②当时,
,
没有零点,此时
.
由的单调性,可得
;
③当时,
,
有两个零点.
又,所以
,
由的单调性,可得
.
综上所述,当时,
没有零点;
当时,
只有1个零点;
当时,
有2个零点.
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【题目】某地区随着经济的发展,居民收入逐年增长,银行储蓄连年增长,下表是该地区某银行连续五年的储蓄存款(年底结算):
年份 | |||||
储蓄存款 |
为方便研究,工作人员对上表的数据做了如下处理:,
得到下表:
(1)用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(2)通过(1)中的方程,求出关于
的线性回归方程,并用所求回归方程预测
年底,该地储蓄存款额可达多少?
(附:参考公式,其中
,
)
【题目】为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名青少年进行调查,得到如下列联表:
常喝 | 不常喝 | 总计 | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
总计 | 30 |
已知从这30名青少年中随机抽取1名,抽到肥胖青少年的概率为.
(1)请将列联表补充完整;(2)是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关?
独立性检验临界值表:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中n=a+b+c+d.