Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥AB，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAB，由此能证明AC⊥PB．
（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO，由已知得EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．

解答： （Ⅰ）证明：∵在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，
AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，
∴AC⊥AB，AC⊥PA，
又AB∩PA=A，∴AC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴AC⊥PB．
（Ⅱ）证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO，
∵ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，又E是PD的中点，
∴EO∥PB，
又PB不包含于平面AEC，EO?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．