Question

已知函数f（x）=sinxcosx-

1

2

sin（2x-

π

3

）．
（1）求f（

4π

3

）的值；
（2）求f（x）的最小正周期及单调区间；
（3）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值与最小值及相应的x的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

），从而可求得f（

4π

3

）的值．
（2）由周期公式可得T的值，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ   k∈Z，2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ   k∈Z，即可求出单调区间；
（3）先求出2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，从而可求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值与最小值及相应的x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinxcosx-

1

2

sin（2x-

π

3

）=

1

2

sin2x-

1

2

（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）．
∴f（

4π

3

）=

1

2

sin（2×

4π

3

+

π

3

）=

1

2

sin3π=0．
（2）∵f（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

），
∴T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ   k∈Z，即kπ-

5π

12

≤x≤

π

12

+kπ（k∈Z），
所以函数的单调增区间为：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）．
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），即kπ+

π

12

≤x≤

7π

12

+kπ（k∈Z），
所以函数的单调减区间为：[kπ+

π

12

，

7π

12

+kπ]（k∈Z）．
（3）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]
∴当x=

π

12

时，f（x）_max=

1

2

×1=

1

2

；当x=

π

2

时，f（x）_min=

1

2

sin

4π

3

=-

3

4

．

点评：本题主要考察了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．