Question

已知f（x）=x²-2|x-a|，当a＞O时，若对任意的x∈[O，+∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，求a的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：先整理f（x-1）≤2f（x）的表达式，有绝对值的放到左边，然后分①0≤x≤a②a＜x≤1+a③x＞1+a讨论，首先去掉绝对值，然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出最值，从而求出a的范围，最后求它们的交集．

解答： 解：不等式f（x-1）≥2f（x）化为-（x-1）²+2|x-1-a|≥-2x²+4|x-a|，
即：4|x-a|-2|x-（1+a）|≤x²+2x-1（*）
对任意的x∈[0，+∞）恒成立．
因为a＞0．所以分如下情况讨论：
①0≤x≤a时，不等式（*）化为-4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x²+2x-1，
即x²+4x+1-2a≥0对任意的x∈[0，a]恒成立，
因为函数g（x）=x²+4x+1-2a在区间[0，a]上单调递增，
则g（0）最小，所以只需g（0）≥0即可，得a≤

1

2

，
又a＞0所以0＜a≤

1

2

，
②a＜x≤1+a时，不等式（*）化为4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x²+2x-1，
即x²-4x+1+6a≥0对任意的x∈（a，1+a]恒成立，
由①，0＜a≤

1

2

，知：函数h（x）=x²-4x+1+6a在区间（a，1+a]上单调递减，
则只需h（1+a）≥0即可，即a²+4a-2≥0，得a≤-2-

6

或a≥-2+

6

．
因为-2+

6

＜

1

2

，所以由①得-2+

6

≤a≤

1

2

，
③x＞1+a时，不等式（*）化为4（x-a）-2[x-（1+a）]≥x²+2x-1，
即x²+2a-3≥0对任意的x∈（a+1，+∞）恒成立，
因为函数φ（x）=x²+2a-3在区间（a+1，+∞）上单调递增，
则只需φ（a+1）≥0即可，
即a²+4a-2≥0，得或a≤-2-

6

或a≥-2+

6

．
由②得-2+

6

≤a≤

1

2

，
综上所述得，a的取值范围是[-2+

6

，

1

2

]

点评：本题是函数的综合题，考查了函数恒成立的一个常用结论：a＞f（x）恒成立，只要a＞f（x）的最大值；a＜f（x）恒成立，只要a＜f（x）的最小值．还重点考查了数学中一个重要数学数学方法--分类讨论．本题属于难题．