题目内容
17.在锐角△ABC中,已知AB=2,∠B=2∠C,则AC的取值范围是( )A. | (2$\sqrt{2}$,2$\sqrt{3}$) | B. | (2,2$\sqrt{2}$) | C. | (2$\sqrt{2}$,4) | D. | (2,2$\sqrt{3}$) |
分析 根据正弦定理和B=2C及二倍角的正弦公式化简得到AC=4cosC,要求AC的范围,只需找出2cosC的范围即可,根据锐角△ABC和B=2C求出C的范围,然后根据余弦函数的增减性得到cosC的范围即可.
解答 解:∵△ABC是锐角三角形,A为锐角,
∴C+B>$\frac{π}{2}$,由B=2C得到C+2C>$\frac{π}{2}$,且2C=B<$\frac{π}{2}$,
解得:$\frac{π}{6}$<C<$\frac{π}{4}$,
∴$\sqrt{2}$<2cosC<$\sqrt{3}$,
根据正弦定理$\frac{AB}{sinC}=\frac{AC}{sinB}$,B=2C,
得到$\frac{2}{sinC}=\frac{AC}{2sinCcosC}$,即AC=4cosC,
则AC的取值范围为(2$\sqrt{2}$,2$\sqrt{3}$).
故选:A.
点评 此题考查了正弦定理,以及二倍角的正弦公式化简求值,本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B=2C变换角得到角的范围,属于基本知识的考查.
练习册系列答案
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12.函数y=2x与y=log2x的图象( )
A. | 关于x轴对称 | B. | 关于原点对称 | ||
C. | 关于直线y=x对称 | D. | 关于直线y=-x对称 |
6.若不等式(x-a)2<1成立的充分不必要条件是$\frac{1}{2}$<x<$\frac{3}{2}$,则实数a的取值范围是( )
A. | $\frac{1}{2}$<a<$\frac{3}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{3}{2}$ | C. | a<$\frac{1}{2}$或a>$\frac{3}{2}$ | D. | a≤$\frac{1}{2}$或a≥$\frac{3}{2}$ |