题目内容

2．已知a＞1，b＞1，且$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b-1}$=1，则a+4b的最小值为14．

分析 由题意可得a-1＞0且b-1＞0，可得a+4b=（a-1）+4（b-1）+5=[（a-1）+4（b-1）]（$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b-1}$）+5=10+$\frac{4（b-1）}{a-1}$+$\frac{a-1}{b-1}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞1，b＞1，
∴a-1＞0且b-1＞0，
又∵$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b-1}$=1，
∴a+4b=（a-1）+4（b-1）+5，
=[（a-1）+4（b-1）]（$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b-1}$）+5，
=10+$\frac{4（b-1）}{a-1}$+$\frac{a-1}{b-1}$≥10+2$\sqrt{\frac{4（b-1）}{a-1}•\frac{a-1}{b-1}}$=14，
当且仅当$\frac{4（b-1）}{a-1}$=$\frac{a-1}{b-1}$即a=4且b=$\frac{5}{2}$时取等号．
故答案为：14．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体法并凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．

练习册系列答案
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12．计算：
（1）$\frac{{a}^{-1}+{b}^{-1}}{（ab）^{-1}}$
（2）16${\;}^{\frac{1}{2}}$-（$\frac{1}{16}$）${\;}^{\frac{3}{4}}$-（$\frac{1}{2}$）-3
（3）（${a}^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}$）（-3a${\;}^{\frac{1}{2}}$b${\;}^{\frac{1}{3}}$）÷（$\frac{1}{3}$a${\;}^{\frac{1}{6}}$b${\;}^{\frac{5}{6}}$）（b≠0）
（4）$\root{3}{{a}^{\frac{7}{2}}\sqrt{{a}^{-3}}}$÷$\sqrt{\root{3}{{a}^{-8}}\root{3}{{a}^{15}}}$÷$\root{3}{\sqrt{{a}^{-3}}\sqrt{{a}^{-1}}}$．
13．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{-x+y-2≥0}\\{x+y-4≤0}\\{x-3y+3≤0}\end{array}\right.$，则z=-3x+y的最小值为0．
10．已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），且sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（1）求sinα的值；
（2）求cos（$\frac{5π}{12}$-α）的值．
17．在锐角△ABC中，已知AB=2，∠B=2∠C，则AC的取值范围是（　　）
A．（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）B．（2，2$\sqrt{2}$）C．（2$\sqrt{2}$，4）D．（2，2$\sqrt{3}$）
7．已知数列{an}满足2an+1=an+an+2，它的前n项和为Sn，且a3=10，S6=72．若bn=$\frac{1}{2}$an-30．
（1）求数列{bn}的前n项和Tn的最小值；
（2）求数列{|bn|}的前n项和Mn．
14．已知圆的半径为3，则120°的圆心角所对的弧长为2π．

已知数列的前项和，且的最大值为8．

（1）确定常数，并求；

（2）求数列的前项和．
11．函数$f（x）=\frac{-3+4x}{5-2x}$的值域是（　　）
A．（-∞，2）∪（2，+∞）B．（-∞，-2）∪（-2，+∞）C．$（{-∞，\frac{5}{2}}）∪（{\frac{5}{2}，+∞}）$D．R

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