题目内容

16．已知平面向量$\overrightarrow{OA}=（1，7），\overrightarrow{OB}=（5，1）$，$\overrightarrow{OP}=（2，1）$．
（Ⅰ）若向量k$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$与2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$平行，求实数k的值．
（Ⅱ）若点Q为直线OP上一动点，求$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$的最小值．

分析 （Ⅰ）根据向量k$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$与2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$平行，得到k=2λ，2=-λ，求出k的值即可；
（Ⅱ）设出Q点的坐标，求出$\overrightarrow{QA}$，$\overrightarrow{BQ}$的坐标，得到$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$的表达式，结合二次函数的性质，求出其最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：k$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=λ（2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），
∵$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$不共线，
∴k=2λ，2=-λ，解得：k=-4；
（Ⅱ）由题意设Q（2x，x），$\overrightarrow{QA}$=（1-2x，7-x），$\overrightarrow{BQ}$=（5-2x，1-x），
∴$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=5x2-20x+12=5（x-2）2-8，
当x=2时，$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$取得最小值-8．

点评 本题考查了平面向量的运算，考查共线向量问题，是一道基础题．

练习册系列答案
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6．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[-1，0]时，f（x）=-x，则f（2011）=（　　）
A．1B．0C．2010D．2011
7．在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA=$\sqrt{3}$cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=4，c=3，D为BC的中点，求AD的长度．
4．（1）求函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$的单调区间；
（2）设An=nn+1，Bn=（n+1）n（n∈N*）．
①实验：分别就n=1，2，3，4，比较An与Bn的大小；
②根据①的实验结果猜测一个一般性结论，并证明你的结论．
11．在数列{an}中，Sn是它的前n项和，a1=2，且Sn+1=4an+2（n∈N*）．
（Ⅰ）求a2和a3的值；
（Ⅱ）设bn=an+1-2an，求证：数列{bn}是等比数列；
（Ⅲ）若${c}_{n}=\frac{2n-1}{{b}_{n}}$，求数列{cn}的前n项和Tn．
1．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{3}$，B=60°，则A=（　　）
A．45°B．60°C．120°或60°D．135°或45°
8．若n∈N*，且3C${\;}_{n-1}^{n-5}$=5A${\;}_{n-2}^{2}$，则n的值为（　　）
A．8B．9C．10D．11
3．下列命题：
①函数y=$\frac{x-1}{x+1}$的单调区间是（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
②函数y=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）的一个单调递增区间是$[-\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$；
③函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称．
④已知函数f（x）=ex-mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=$\frac{1}{2}x$垂直的切线，则实数m的取值范围是m＞2．
其中正确命题的序号为②④．
4．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，g（x）=f（x）+ax-6lnx（a∈R．）
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设函数h（x）=x2-mx+4，当a=2时，若?x1∈（0，1），?x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．

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