Question

4．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，g（x）=f（x）+ax-6lnx（a∈R．）
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=2时，若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），求出函数的导数，当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a．由此能够判断f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=2时，g（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，求出函数的导数，由g′（x）=0，得x的值，从而得到函数的单调性，所以在（0，1）上，g（x）max=g（$\frac{1}{2}$），由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a；
故f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）当a=2时，g（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，g′（x）=$\frac{{2x}^{2}-5x+2}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=0，得x=$\frac{1}{2}$或x=2．
当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，g′（x）≥0；当x∈（$\frac{1}{2}$，1）时，g′（x）＜0．
所以在（0，1）上，g（x）max=g（$\frac{1}{2}$）=-3+5ln2，
而“?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立”等价于
“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
所以有 $\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）≥h（1）}\\{g（\frac{1}{2}）≥h（2）}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3+5ln2≥5-m}\\{-3+5ln2≥8-2m}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥8-5ln2}\\{m≥\frac{1}{2}（11-5ln2）}\end{array}\right.$，
解得m≥8-5ln2，
所以实数m的取值范围是[8-5ln2，+∞）．

点评 本题考查在闭区间上求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．