题目内容

9.已知△ABC是边长为1的正三角形,M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G.若△AGM的面积为$\frac{1}{12}$,则△AGN的面积为$\frac{{\sqrt{3}+1}}{24}$.

分析 设∠AGM=α,由已知可得AG,∠MAG的值,由正弦定理可得得GM=$\frac{\sqrt{3}}{6sin(α+\frac{π}{6})}$,由SAGM=$\frac{1}{2}$GM•GA•sinα=$\frac{1}{6(\sqrt{3}+cotα)}$=$\frac{1}{12}$,解得:cotα=2-$\sqrt{3}$,又利用正弦定理可得GN=$\frac{\sqrt{3}}{6sin(α-\frac{π}{6})}$,则可求SAGN=$\frac{1}{2}$GN•GA•sin(π-α)=$\frac{1}{6(\sqrt{3}-cotα)}$的值.

解答 解:因为G为边长为1的正三角形ABC的中心,
所以AG=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,∠MAG=$\frac{π}{6}$,
由正弦定理$\frac{GM}{sin\frac{π}{6}}=\frac{GA}{sin(π-α-\frac{π}{6})}$,得GM=$\frac{\sqrt{3}}{6sin(α+\frac{π}{6})}$,.
 则SAGM=$\frac{1}{2}$GM•GA•sinα=$\frac{sinα}{12sin(α+\frac{π}{6})}$=$\frac{1}{6(\sqrt{3}+cotα)}$)=$\frac{1}{12}$,
解得:cotα=2-$\sqrt{3}$,
又$\frac{GN}{sin\frac{π}{6}}=\frac{GA}{sin(α-\frac{π}{6})}$,得GN=$\frac{\sqrt{3}}{6sin(α-\frac{π}{6})}$,
则SAGN=$\frac{1}{2}$GN•GA•sin(π-α)=$\frac{sinα}{12sin(α-\frac{π}{6})}$=$\frac{1}{6(\sqrt{3}-cotα)}$=$\frac{1}{6(\sqrt{3}-2+\sqrt{3})}$=$\frac{{\sqrt{3}+1}}{24}$.
故答案为:$\frac{{\sqrt{3}+1}}{24}$

点评 本题主要考查了正弦定理,三角形面积公式的综合应用,将△AGM、△AGN的面积表示为α的函数是解题的关键.

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