题目内容
18.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰直角三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,D是BC的中点,AA1=AB=AC=2,(1)求证:平面AB1D⊥平面B1BCC1;
(2)求证:A1C∥平面AB1D;
(3)求三棱锥A1-B1DA的体积.
分析 (1)由正三棱柱的几何特征可得AD⊥B1B,由等边三角形三线合一,可得AD⊥BD,结合线面垂直及面面垂直的判定定理,可依次证得AD⊥平面B1BCC1及平面AB1D⊥平面B1BCC1;
(2)连接A1B,交AB1于E,连DE,由三角形中位线定理可得DE∥A1C,进而根据线面平行的判定定理可得A1C∥平面AB1D.
(3)利用等体积转化,即可求三棱锥A1-B1DA的体积.
解答 (1)证明:因为B1B⊥平面ABC,AD?平面ABC,
所以AD⊥B1B
因为D为正△ABC中BC的中点,
所以AD⊥BD
又B1B∩BC=B,
所以AD⊥平面B1BCC1
又AD?平面AB1D,故平面AB1D⊥平面B1BCC1
(2)证明:连接A1B,交AB1于E,连DE
因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点,所以E为AB1的中点
又D为BC的中点,所以DE为△A1BC的中位线,
所以DE∥A1C
又DE?平面AB1D,
所以A1C∥平面AB1D;
(3)解:三棱锥A1-B1DA的体积等于三棱锥D-A1B1A的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1$=$\frac{2}{3}$.
点评 本题考查线面平行、垂直的证明,考查三棱锥A1-B1DA的体积的计算,正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键.
练习册系列答案
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