Question

1．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．
（Ⅰ） 计算甲班7位学生成绩的方差s²； 
（Ⅱ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
参考公式：
方差${s^2}=\frac{1}{n}[{{{（{{x_1}-\overline x}）}^2}+{{（{{x_2}-\overline x}）}^2}+…+{{（{{x_n}-\overline x}）}^2}}]$，其中$\overline x=\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平均数求出x的值，根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．
（Ⅱ）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案

解答 解：（ I）∵甲班学生的平均分是85，
∴$\frac{92+96+80+80+x+85+79+78}{7}=85$．…（1分）
∴x=5．…（3分）
则甲班7位学生成绩的方差为s²=$\frac{1}{7}[{{{（{-6}）}^2}+{{（{-7}）}^2}+{{（{-5}）}^2}+{0^2}+{0^2}+{7^2}+{{11}^2}}]$=40．…（6分）
（ II）甲班成绩在90（分）以上的学生有两名，分别记为A，B，…（7分）
乙班成绩在90（分）以上的学生有三名，分别记为C，D，E． …（8分）
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）． …（9分）
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．…（10分）
记“甲班至少有一名学生”为事件M，则$P（M）=\frac{7}{10}$，
即从成绩在90（分）以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为$\frac{7}{10}$． …（12分）

点评 本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．