Question

【题目】已知f（x）=loga 是奇函数（其中a＞1）
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；
（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意：f（x）是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，即loga + =0

∴ ，解得：m=±1，

当m=﹣1时，f（x）无意义，所以 ，

故得m的值为1

（2）

解：由（1）得 ，设2＜x1＜x2，

则f（x2）﹣f（x1）= ﹣ =

∴2＜x1＜x2，∴0＜2x1x2+2（x1﹣x2）﹣4＜x1x2﹣（x1﹣x2）﹣4，

∵a＞1，∴f（x2）＜f（x1）

所以：函数f（x）在（2，+∞）上的单调减函数

（3）

解：由（1）得 ，

∴ 得，函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

又∵ ，得f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）

令f（x）=1，则 =1，解得： ．

所以：f（ ）=1

当a＞1时， ＞2，此时f（x）在在（2，+∞）上的单调减函数．

所以：当x∈（2， ）时，得f（x）∈1，+∞）；

由题意：r=2，那么a﹣2= ，解得：a=5．

所以：当x∈（r，a﹣2），f（x）的取值范围恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为5和2

【解析】（1）f（x）是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0即可求解m的值．（2）定义证明（2，+∞）上的单调性即可．（3）利用单调性当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．
【考点精析】本题主要考查了函数的奇函数的相关知识点，需要掌握一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数才能正确解答此题．