Question

19．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin2x+$\sqrt{2}$cos2x，x∈R．
（1）求f（$\frac{3π}{8}$）的值；
（2）求f（x）的最大值和最小正周期．

Answer 1

分析 （1）根据题意，对f（x）恒等变形可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），将x=$\frac{3π}{8}$代入即可得答案；
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），结合正弦函数的图象分析可得答案．

解答 解：（1）f（x）=2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）=2（cos$\frac{π}{4}$sin2x+sin$\frac{π}{4}$cos2x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
则f（$\frac{3π}{8}$）=2sin[2（$\frac{3π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]=2sinπ=0；
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
∴f（x）的最大值为2，最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．

点评 本题考查三角函数的恒等变化，关键是熟练应用三角函数的恒等变化的有关公式将f（x）变形为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）．