Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， Sn=n2+n．
（Ⅰ）求{an}的通项公式an；
（Ⅱ）若ak+1 ， a2k ， a2k+3（k∈N*）恰好依次为等比数列{bn}的第一、第二、第三项，求数列{ }的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．
检验n=1时，上式符合．
∴an=2n．．
（Ⅱ）由题知：ak+1 ， a2k ， a2k+3（k∈N*）恰好依次为等比数列{bn}的第一、第二、第三项，
∴ =ak+1a2k+3（k∈N*），
即（2×2k）2=2（k+1）2（2k+3），解得k=3．
∴b1=a4=8，b2=a6=12，公比q= = ．
∴bn= ，
∴ = ，
∴Tn= + +…+ ．
= +…+ ，
∴ = +…+ ﹣ = ﹣ × ，
Tn= ﹣ × ．
【解析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 即可得出．（Ⅱ）由题知：ak+1 ， a2k ， a2k+3（k∈N*）恰好依次为等比数列{bn}的第一、第二、第三项，可得 =ak+1a2k+3（k∈N*），解得k=3．可得bn= ， = ，再利用“错位相减法”与求和公式即可得出．
【考点精析】掌握数列的前n项和是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．