题目内容

20.已知曲线y=$\frac{1}{x}$和y=x2它们交于点P,过P点的两条切线与x轴分别交于A,B两点.求△ABP的面积.

分析 联立两曲线方程求出交点坐标P(1,1),把x=1分别代入两曲线的导函数中求两切线的斜率,从而写出过点P的两条切线方程,然后根据与x轴交点坐标的求法分别求出A、B的坐标可确定出三角形的底与高,利用三角形的面积公式即可求出.

解答 解:联立两曲线方程得$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{x}\\ y={x}^{2}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$,
所以切点P的坐标为(1,1),
求出两曲线的导函数为y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$和y′=2x,把x=1分别代入两个导函数得到过p点切线的斜率分别为:k1=-1,k2=2×1=2,
则两曲线在P点的切线方程分别为:y-1=-1(x-1)即x+y-2=0;y-1=2(x-1)即2x-y-1=0
因为A、B是两切线与x轴的交点,所以令y=0,得到A(2,0),B($\frac{1}{2}$,0),
则s△ABP=$\frac{1}{2}$×|2-$\frac{1}{2}$|×1=$\frac{3}{4}$.

点评 此题是把函数与方程综合在一起的题型,要求学生会利用导数求切线的斜率,以及会根据一点和斜率写出直线的方程,会求直线与x轴的截距.

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