题目内容
如图,在以点O为圆心,AB为直径的半圆中,D为半圆弧的中点, P为半圆弧上一点,且AB=4,∠POB=30°,双曲线C以A,B为焦点且经过点P.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F,
若△OEF的面积不小于2,求直线l的斜率的取值范围.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F,
若△OEF的面积不小于2,求直线l的斜率的取值范围.
(Ⅰ)双曲线C的方程是.(Ⅱ)直线l的斜率的取值范围是[-,-1)(-1,1)(1,]. ;
(Ⅰ)方法一:以O为原点,AB、OD所在直线分别
为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则
点A(-2,0),B(2,0),P(,1).
设双曲线实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则
2a=|PA|-|PB|=,2c=|AB|=4.
所以a=,c=2,从而b2=c2-a2=2.
故双曲线C的方程是.
方法二:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则
点A(-2,0),B(2,0),P(,1).
设双曲线C的方程为>0,b>0),则.
解得a2=b2=2,故双曲线C的方程是
(Ⅱ)据题意可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程得,,
即(1-k2)x2-4kx-6=0.
因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F,则
即
设点E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2=.
所以|EF|=
又原点O到直线l的距离d=.
所以S△DEF=
因为S△OEF,则
综上分析,直线l的斜率的取值范围是[-,-1)(-1,1)(1,].
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