题目内容

如图,在以点O为圆心,AB为直径的半圆中,D为半圆弧的中点, P为半圆弧上一点,且AB=4,∠POB=30°,双曲线C以A,B为焦点且经过点P.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F,
若△OEF的面积不小于2,求直线l的斜率的取值范围.
(Ⅰ)双曲线C的方程是.(Ⅱ)直线l的斜率的取值范围是[-,-1)(-1,1)(1,]. ;

(Ⅰ)方法一:以O为原点,AB、OD所在直线分别
x轴、y轴建立平面直角坐标系,则
点A(-2,0),B(2,0),P(,1).                                          
设双曲线实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则
2a=|PA|-|PB|=,2c=|AB|=4.    
所以ac=2,从而b2c2a2=2.                                        
故双曲线C的方程是.                                            
方法二:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则
点A(-2,0),B(2,0),P(,1).                                          
设双曲线C的方程为>0,b>0),则.              
解得a2b2=2,故双曲线C的方程是                             
(Ⅱ)据题意可设直线l的方程为ykx+2,代入双曲线C的方程得,
即(1-k2)x2-4kx6=0.                                                        
因为直线l与双曲线C相交于不同两点EF,则
  即                         
设点E(x1y1),F(x2y2),则x1x2.                     
所以|EF|=
又原点O到直线l的距离d.                                        
所以S△DEF=      
因为S△OEF,则
综上分析,直线l的斜率的取值范围是[-,-1)(-1,1)(1,].       
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