题目内容
(本小题满分14分)
设
椭圆方程为
抛物线方程为
如图4所示,过点
作
轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得
为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) 。
设






(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得


(1)椭圆和抛物线的方程分别为
和
;
(2)存在,有4个点,理由见解析。


(2)存在,有4个点,理由见解析。
对于(1)重点要抓住抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1,故先要设法求出点G及抛物线在点G的切线,再求F1,利用同一个F1求出b即可;对于(2)首先要注意直角
三个角均有可能为直角,不要遗漏,对于
为直角的情况可利用向量或斜率求解;
(1)由
得
,
当
得
,
G点的坐标为
,
,
,
过点G的切线方程为
即
,
令
得
,
点的坐标为
,由椭圆方程得
点的坐标为
,
即
,
即椭圆和抛物线的方程分别为
和
;
(2)
过
作
轴的垂线与抛物线只有一个交点
,
以
为直角的
只有一个,同理
以
为直角的
只有一个。
若以
为直角,设
点坐标为
,
、
两点的坐标分别为
和
,
。
关于
的二次方程有一解,
有两解,即以
为直角的
有两个,因此抛物线上存在四个点使得
为直角三角形。


(1)由


当






过点G的切线方程为


令








即椭圆和抛物线的方程分别为


(2)










若以








关于






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