题目内容

3.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,若A(-1,0),则$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

分析 过点P作PM垂直于准线,M为垂足,则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,则$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM,故当PA和抛物线相切时,$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标,从而求得$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$的最小值.

解答 解:由题意可得,焦点F(1,0),准线方程为x=-1.
过点P作PM垂直于准线,M为垂足,
则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,
则$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM,∠PAM 为锐角.
故当∠PAM 最小时,$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$最小,
故当PA和抛物线相切时,$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$最小.
设切点P(a,2$\sqrt{a}$),则PA的斜率为$\frac{2\sqrt{a}-0}{a+1}$=(2$\sqrt{x}$)′=$\frac{1}{\sqrt{a}}$,
求得a=1,可得P(1,2),∴|PM|=2|PA|=2$\sqrt{2}$,
∴sin∠PAM=$\frac{|PM|}{|PA|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
故答案为:$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

点评 本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用,直线的斜率公式、导数的几何意义,属于中档题.

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