题目内容

17.设O、A、B、C为平面上四个点,$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$,$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=-1,则|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{c}$|=$3\sqrt{2}$.

分析 把$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$直接平方、移项后平方,再利用$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=-1,可求得答案.

解答 解:∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$,$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=-1,
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\\;\overrightarrow{b}\\;{|}^{2}+|\\;\overrightarrow{c}{|}^{2}-6=0$$|\overrightarrow{b}{|}^{2}+|\overrightarrow{c}{|}^{2}-6=0$,①
把$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$两边平方得${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}={\overrightarrow{c}}^{2}$,②
由①知${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}=6-{\overrightarrow{c}}^{2}$,③
由②③知,$|\overrightarrow{c}{|}^{2}=2$,
$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{2}$,
把$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{b}$两边平方得${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}-2={\overrightarrow{b}}^{2}$,
$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=|\overrightarrow{b}{|}^{2}=2$,
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$,
则|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{c}$|=$3\sqrt{2}$,
故答案为$3\sqrt{2}\\;\\;\$.

点评 本题考查向量的数量积的运算,向量的模的求法,关键是将条件进行转化变形.

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