Question

13．对于函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+3），解答下列问题：
（1）若f（x）的定义域是R，求a的取值范围；
（2）若f（x）的值域是R，求a的取值范围；
（3）若f（x）在[-1，+∞）内上有意义，求a的取值范围；
（4）若f（x）的值域是（-∞，-1]，求a的取值范围；
（5）若f（x）在（-∞，-1]内为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）转化为x²-ax+3＞0在R上恒成立，利用二次函数性质求解即可．
（2）判断得出y=x²-ax+3的图象不能在x轴上方，即△=a²-12≥0求解．
（3）转化x²-ax+3＞0在[-1，+∞）上恒成立，根据二次函数性质得出△＜0或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤-′1}\\{4+a＞0}\end{array}\right.$．
（4）利用复合函数性质得出：y=x²-ax+3的值域为[2，+∞），最小值$\frac{4×1×3-{a}^{2}}{4}$=2，求解即可．
（5）根据复合函数的单调性得出y=x²-ax+3在（-∞，-1]内为减函数，且x²-ax+3＞0在（-∞，-1]恒成立．再利用二次函数性质求解即可．

解答 解：对于函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+3），
（1）∵f（x）的定义域是R，
∴x²-ax+3＞0在R上恒成立，
即△=a²-12＜0，
得：a∈（-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）
（2）∵f（x）的值域是R，
∴y=x²-ax+3的图象不能在x轴上方，
即△=a²-12≥0，得：a∈（-∞，-2$\sqrt{3}$）∪（2$\sqrt{3}$，+∞）
（3）∵f（x）在[-1，+∞）内上有意义，
∴x²-ax+3＞0在[-1，+∞）上恒成立，
即△＜0或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤-′1}\\{4+a＞0}\end{array}\right.$
得a∈（-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）∪（-4，-2），
（4）∵f（x）的值域是（-∞，-1]，
∴y=x²-ax+3的值域为[2，+∞），
$\frac{4×1×3-{a}^{2}}{4}$=2，即a=±2，
故a的取值范围：a=-2或a=2
（5）∵f（x）在（-∞，-1]内为增函数，
∴y=x²-ax+3在（-∞，-1]内为减函数，且x²-ax+3＞0在（-∞，-1]恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≥-1}\\{（-1）^{2}-a（-1）+3＞0}\end{array}\right.$即a≥-2．

点评 本题结合对数函数的单调性，复合函数的单调性的应用与二次函数及对数函数的性质，还考查了二次函数在区间上单调，但不要忽略了函数的定义域，