题目内容
【题目】已知f(x)=﹣x+|2x+1|,不等式f(x)<2的解集是M.
(Ⅰ)求集合M;
(Ⅱ)设a,b∈M,证明:|ab|+1>|a|+|b|.
【答案】(Ⅰ)M={x|﹣1<x<1};(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)分,x
去绝对值可得M={x|﹣1<x<1}.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得|a|<1,|b|<1,将不等式作差即可得证.
(Ⅰ)当时,f(x)=﹣x+2x+1=x+1.
由f(x)<2,得x<1,所以x<1.
当x时,f(x)=﹣x﹣2x﹣1=﹣3x﹣1.
由f(x)<2,得x>﹣1,所以﹣1
综上可知,M={x|﹣1<x<1}.
(Ⅱ)因为a,b∈M,所以﹣1<a,b<1,即|a|<1,|b|<1
所以|ab|+1﹣(|a|+|b|)=(|a|﹣1)(|b|﹣1)>0
故|ab|+1>|a|+|b|.
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