题目内容
【题目】已知f（x）＝﹣x+|2x+1|，不等式f（x）＜2的解集是M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）设a，b∈M，证明：|ab|+1＞|a|+|b|．
【答案】（Ⅰ）M＝{x|﹣1＜x＜1}；（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）分
，x
去绝对值可得M＝{x|﹣1＜x＜1}．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|a|＜1，|b|＜1，将不等式作差即可得证．
（Ⅰ）当时，f（x）＝﹣x+2x+1＝x+1．
由f（x）＜2，得x＜1，所以
x＜1．
当x时，f（x）＝﹣x﹣2x﹣1＝﹣3x﹣1．
由f（x）＜2，得x＞﹣1，所以﹣1
综上可知，M＝{x|﹣1＜x＜1}．
（Ⅱ）因为a，b∈M，所以﹣1＜a，b＜1，即|a|＜1，|b|＜1
所以|ab|+1﹣（|a|+|b|）＝（|a|﹣1）（|b|﹣1）＞0
故|ab|+1＞|a|+|b|．
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