题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,左、右焦点分别为
、
,
为椭圆C上一点,且
的中点B在y轴上,
.
(1)求椭圆C的标准方程:
(2)若直线交椭圆于P、Q两点,若PQ的中点为N,O为原点,直线ON交直线
于点M,求
的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由BO为的中位线,可求出
,由此可设
,代入椭圆方程,联立
,
,即可求出
,
,从而得到椭圆方程;
(2)设、
,联立
,化为关于x的一元二次方程,由根与系数的关系及中点坐标公式求出PQ的中点N的坐标,再由弦长公式求出
,由点N的坐标写出直线ON的方程,求出点M.的坐标,再由两点间距离公式求出
,然后求
,换元法求出其最大值.
(1)因为B为的中点, O为线段
的中点,
所以BO为的中位线,所以
,
又因为,所以
,所以可设
又为椭圆C上一点,所以将
代入椭圆方程可得
又,
,联立解得
,
,
故所求椭圆方程为;
(2)由直线方程为,
联立,可得
.
设、
,则
,
,
所以为;
所以PQ的中点N坐标为,
因此直线ON的方程为,
从而点M为,又
,所以
,
设,令
,则
,
所以,
因此当,即
时
取得最大值
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件,零件尺寸均在[21.7,22.3](单位:cm)之间的零件,把零件尺寸在[21.9,22.1)的记为一等品,尺寸在[21.8,21.9)[22.1,22.2)的记为二等品,尺寸在[21.7,21.8)
[22.2,22.3]的记为三等品,现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品,所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示:
(Ⅰ)根据上述数据完成下列2×2列联表,根据此数据你认为选择不同的工艺与一等品产出率是否有关?
甲工艺 | 乙工艺 | 总计 | |
一等品 | |||
非一等品 | |||
总计 |
P(K2≥k) | 0.1 | 0.05 | 0.01 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
附:,其中
.
(Ⅱ)以上述两种工艺中各种产品的频率作为相应产品产出的概率,若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元,从一件产品的平均利润考虑,你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件?请说明理由.