题目内容
【题目】已知(
为常数).
(1)求的极值;
(2)设,记
,已知
为函数
是两个零点,求证:
.
【答案】(1)的极大值为
,无极小值;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1) 求导,判断单调性得极值即可.
(2) 先在上构造函数
和
比较大小,再在
上利用函数
单调性得
.
试题解析:(1),由
得
,
且时,
,
时,
.
故函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
所以,函数的极大值为
,无极小值.
(2)由及(1)知
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
由条件知,即
,
构造函数,知
与
图像两交点的横坐标为
,
,
,由
得
,易知函数
的单调递减区间为
,单调递减区间为
.
欲证,只需证
,不妨设
,
考虑到在
上递增,只需证
,
由知,只需证
,
令,
则,
即单调增,注意到
,
结合知
,即
成立,
即成立.
点睛:本题考查的是函数的极值问题和极值点偏移问题.求极值时要注意判断在导数为的点两侧的符号,异号时为极值点,要记得判断是极大值还是极小值 ,否则不是极值点;在第二问极值点偏移中,要解决两个问题,一是在
上构造函数
和
比较大小,二是在
上利用函数
单调性.
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练习册系列答案
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【题目】某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元) | 0 | 1 000 | 2 000 | 3 000 | 4 000 |
车辆数(辆) | 500 | 130 | 100 | 150 | 120 |
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.