题目内容
【题目】焦点在x轴上的椭圆C：
经过点
，椭圆C的离心率为
．
，
是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点M为
的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数
，使得
；若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在
满足条件,详见解析
【解析】
（1）根据所给条件列出方程组，求解即可。
（2）对直线的斜率存在与否分类讨论，当斜率存在时，设直线
的方程为
，
，
，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可表示出
、
、
，则
可求。
解：（1）由已知可得
，解得
，
，
所以椭圆
的标准方程为．
（2）若直线的斜率不存在时，
，
，
所以
；
当斜率存在时，设直线的方程为，，．
联立直线与椭圆方程
，消去y，得
，
所以
．
因为
，设直线
的方程为
，
联立直线与椭圆方程
，消去
，得
，解得
．
，
，
同理
，
，
因为
，
，故
，存在满足条件，
综上可得，存在满足条件．
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【题目】某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[21.7，22.3]（单位：cm）之间的零件，把零件尺寸在[21.9，22.1)的记为一等品，尺寸在[21.8，21.9)
[22.1，22.2)的记为二等品，尺寸在[21.7，21.8)[22.2，22.3]的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）根据上述数据完成下列2×2列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与一等品产出率是否有关？
甲工艺 | 乙工艺 | 总计 | |
一等品 | |||
非一等品 | |||
总计 |
P（K2≥k） | 0.1 | 0.05 | 0.01 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
附：
，其中
．
（Ⅱ）以上述两种工艺中各种产品的频率作为相应产品产出的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，从一件产品的平均利润考虑，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由．
