Question

如图，在棱长为a的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）作出面A₁BC₁与面ABCD的交线l，判断l与直线A₁C₁位置关系，并给出证明；
（2）证明B₁D⊥面A₁BC₁；
（3）求直线AC到面A₁BC₁的距离；
（4）若以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出C，C₁两点的坐标．

Answer 1

（1）在平面ABCD内过点B作AC的平行线BE，
∵AC∥A₁C₁，AC∥BE，
∴BE∥A₁C₁，
∴面A₁BC₁与面ABCD的交线l与BE重合，
即直线BE就是所求的直线l．
∵BE∥A₁C₁，
l与BE重合，
∴l∥A₁C₁．
（2）证明：连接B₁D₁，
∵A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵A₁C₁⊥DD₁，
∴A₁C₁⊥面DBB₁D₁，
∴A₁C₁⊥B₁D．
同理A₁B⊥面ADC₁B₁，
∴A₁B⊥B₁D，
∵A₁C₁∩A₁B=A₁，
∴B₁D⊥面A₁BC₁．
（3）∵AC∥A₁C₁，且AC在面A₁BC₁外，A₁C₁?面A₁BC₁，
∴AC∥面A₁BC₁，
∴直线AC到面A₁BC₁的距离即为点A到面A₁BC₁的距离，记为h，
在三棱锥中A-A₁BC₁中，
VA_A1BC1=VC1-ABA1，
∵正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD棱长为a，
∴VA-A1BC1=

1

3

•S△A1BC1•h=

1

3

×

1

2

×(

2

a)2×h×sin60°=

3 a2

6

h，
VC1-ABA1=

1

3

•S△ABA1•A₁C₁=

1

3

•

1

2

•a•a•

2

a=

2

6

a3，
∵VA_A1BC1=VC1-ABA1，
∴h=

6

3

a．
（4）若以A为坐标原点，
分别以AB，AD，AA₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD的棱长为a，
∴C（a，a，0），C₁（a，a，a）．