题目内容
(13分) 已知曲线C:的横坐标分别为1和,且a1=5,数列{xn}满足xn+1 = tf (xn – 1) + 1(t > 0且).设区间,当时,曲线C上存在点使得xn的值与直线AAn的斜率之半相等.
(1) 证明:是等比数列;
(2) 当对一切恒成立时,求t的取值范围;
(3) 记数列{an}的前n项和为Sn,当时,试比较Sn与n + 7的大小,并证明你的结论.
(1) 证明:是等比数列;
(2) 当对一切恒成立时,求t的取值范围;
(3) 记数列{an}的前n项和为Sn,当时,试比较Sn与n + 7的大小,并证明你的结论.
(Ⅰ)略 (Ⅱ) 0<t< (Ⅲ)
:(1) ∵由已知得 ∴
由
∴即
∴是首项为2+1为首项,公比为2的等比数列. ········ 4分
(2) 由(1)得=(2+1)·2n-1,∴
从而an=2xn-1=1+,由Dn+1Dn,得an+1<an,即.
∴0<2t<1,即0<t<9分
(3) 当时, ∴
不难证明:当n≤3时,2n-1≤n+1;当n≥4时,2n-1>n+1.
∴当n≤3时,
当n≥4时,
综上所述,对任意的13分
由
∴即
∴是首项为2+1为首项,公比为2的等比数列. ········ 4分
(2) 由(1)得=(2+1)·2n-1,∴
从而an=2xn-1=1+,由Dn+1Dn,得an+1<an,即.
∴0<2t<1,即0<t<9分
(3) 当时, ∴
不难证明:当n≤3时,2n-1≤n+1;当n≥4时,2n-1>n+1.
∴当n≤3时,
当n≥4时,
综上所述,对任意的13分
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