Question

【题目】已知正三棱柱中， 分别为的中点，设.

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角的平面角为，求实数的值，并判断此时二面角是否为直二面角，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) 二面角为直二面角

【解析】试题分析：（1）先证CF⊥平面A1EF，即可证明：平面A1CF⊥平面A1EF；

（2）如图，以F为坐标原点， 方向为轴， 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，求出，由定义则∠EFA1为二面角E﹣CF﹣A1的平面角，即可得出结论．

试题解析：

（1）因为正三棱柱，所以平面，

所以，

又是正三角形， 为中点，

所以，又

故平面，又平面，

所以平面平面.

（2）如图，以为坐标原点， 方向为轴， 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨设底边长

，由题意，则，

， ， ， ，

，

设平面的法向量则

，令，

则

由（1）可知为平面的一个法向量

故，计算可得：

由（1）可知， ，

由定义则为二面角的平面角，

此时由勾股定理： ， ，

，

满足，则此时二面角为直二面角