Question

【题目】已知函数的图象过点P（1,2），且在处取得极值

（1）求的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）求函数在上的最值.

Answer 1

【答案】（1）a="4," b=-3（2）单调增区间为，单调减区间为（3）最大值为6，最小值为

【解析】

试题（1）本题运用待定系数法求函数解析式，但函数图象在x=处取得极值可得，通过解方程组可得到a、 b的值；（2）由导数性质求出f'（x）＞0和f'（x）＜0的x范围就是函数f（x）的单调区间；（3）由函数在区间[-1，1]上的单调性：f（x）在上是减函数，在上是增函数求出函数的最值

试题解析：（1） ∵函数f（x）=x3+ax2+bx（a,bR）的图象过点P（1，2）

∴ f（1）=2 ∴ a+b=1

又函数f（x）在x=处取得极值点

∴（）=0 因（x）=3x2+2 ax+b ∴2a+3b="-1"

解得 a="4," b="-3"

经检验 x=是f（x）极值点

（2）由（1）得（x）=3x2+8x-3令（x） ＞0 ，得 x＜ -3或 x＞

令（x） ＜0 ，得 -3＜ x ＜

函数f（x）的单调增区间为（，-3）, （,），

函数f（x）的单调减区间为（-3，）

（3） 由（2）知，又函数f（x）在x=处取得极小值点f（）=f（-1）="6," f（1）="2"

函数f（x）在[-1,1]上的最大值为6，最小值为