题目内容
【题目】动点P满足 
+ 
=2 
（1）求动点P的轨迹F1 ， F2的方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为 
，求△OAB面 积的最大值．
【答案】
（1）
解：由已知得，点P到点 
与 
的距离之和等于 
且 
，则动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆
设椭圆的标准方程为 
则 
即 
，b2=a2﹣c2=1，
动点P的轨迹C的方程为 
（2）
解：设直线的方程为x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
原点O到直线l的距离为 
，即 
= ，
化简得4n2=3（1+m2），即n2= 
（1+m2），
将直线l与椭圆C方程联立得 
，化简得（m2+3）y2+2mny+n2﹣3=0，
y1+y2=﹣ 
，y1y2= 
，
△=4m2n2﹣4（m2+3）（n2﹣3）=12m2﹣12n2+36=12（m2﹣n2+3）=3（m2+9）＞0…（6分）
将代入得 
，
∴ 
，
令t=m2+3，t≥3，
当 
= 
，即t=6，m2=3时，S△OAB最大，
∴△OAB面 积的最大值
【解析】（1）由题意可知动点P的轨迹是以F1 ， F2为焦点的椭圆，设椭圆方程，由题意求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）利用点到直线的距离公式，求得n与m的关系，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，及基本不等式得性质，即可求得△OAB面 积的最大值．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
才能得出正确答案．
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