题目内容
【题目】已知.
(1)当时,判断函数
在区间
上的单调性;
(2)求证:曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线.
【答案】(1)详见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)求导数,分析导函数在的正负,即可求出;(2)将问题转化为
单调且
,结合(1)可证出.
试题解析:(1)解: .
①当时,
,所以
时,函数
没有单调性
②当时,
,得
,所以
时,
,函数
单调递增;
③当时,
,所以
时,
,函数
单调递减;
时,
,函数
单调递增.
(2)证明:因为
所以要证曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线,
只需证明:当时,且
时函数
是单调函数即可.
由(1)可知,当时,
在
上递减;在
上递增.
因为,
.
所以,使得
.
所以在区间上,
单调递减,且
,在
上
.
又因为时,
,
,
所以在上
.
综上可知,曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线.
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