Question

【题目】已知.

（1）当时，判断函数在区间上的单调性；

（2）求证：曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求导数，分析导函数在的正负，即可求出；（2）将问题转化为单调且，结合（1）可证出.

试题解析：（1）解： .

①当时， ，所以时，函数没有单调性

②当时， ，得，所以时， ，函数单调递增；

③当时， ，所以时， ，函数单调递减；

时， ，函数单调递增.

（2）证明：因为

所以要证曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线，

只需证明：当时,且时函数是单调函数即可.

由（1）可知，当时, 在上递减；在上递增.

因为， .

所以,使得.

所以在区间上， 单调递减，且,在上.

又因为时， ， ，

所以在上.

综上可知，曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线.