题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,PC=2,E是PB上的点.
(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若E是PB的中点,求二面角P﹣AC﹣E的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵PC⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴AC⊥PC,AB=2,AD=CD=1,
∴ ,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC,∵AC平面EAC,
∴平面EAC⊥平面PBC.
(2)解:以C为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,
则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,﹣1,0),设P(0,0,2),
则 ,取
,则
,
∴ 为面PAC的法向量.
设 为面EAC的法向量,则
,
即 ,取x=2,y=﹣2,z=﹣2,
则 .
【解析】(1)证明AC⊥PC,AC⊥BC,得到AC⊥平面PBC,然后证明平面EAC⊥平面PBC.(2)以C为原点,建立空间直角坐标系,求出面PAC的法向量.面EAC的法向量,然后求解二面角的余弦函数值.
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点,需要掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直才能正确解答此题.
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