Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且BE⊥PD．
（1）求异面直线PA与CD所成的角的大小；
（2）求证：BE⊥平面PCD；
（3）求二面角A﹣PD﹣B的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BC中点F，连接AF，则CF=AD，且CF∥AD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∴AF∥CD，

∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角

∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．

∵PB=AB=BF=1，

∴AB⊥BC，

∴PA=PF=AF= ．

∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°

即异面直线PA与CD所成的角等于60°．

（2）证明：由（1）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．

∴CD⊥BD

又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、

∵PB∩BD=B，

∴CD⊥平面PBD，

∴CD⊥BE

∵CD∩PD=D，BE⊥PD

∴BE⊥平面PCD；

（3）解：连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD、

∵PB⊥平面ABCD，

∴平面PBD⊥平面ABD，

∴AO⊥平面PBD、

过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD、

∴∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．

在Rt△ABD中，AO= ．

在Rt△PAD中，AH= = ．

在Rt△AOH中，sin∠AHO= = ．

∴∠AHO=60°．

即二面角A﹣PD﹣B的大小为60°．

【解析】（1）由于直线PA与CD不在同一平面内，要把两条异面直线移到同一平面内，做AF∥CD，异面直线PA与CD所成的角与AF与PA所成的角相等．（2）证明CD⊥平面PDB，可得CD⊥BE，结合BE⊥PD即可得证．（3）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD．过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD，则∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．