Question

【题目】今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．
（1）若a= ，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？

Answer 1

【答案】
（1）解：a= 时，f（x）=|log25（x+1）﹣ |+2，x∈[0，24]，

令|log25（x+1）﹣ |=0，解得x=4，

因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低

（2）解：令f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1= ，

当x∈（0，25a﹣1]时，f（x）=3a+1﹣log25（x+1）单调递减，∴f（x）＜f（0）=3a+1．

当x∈[25a﹣1，24）时，f（x）=a+1+log25（x+1）单调递增，∴f（x）≤f（24）=a+1+1．

联立 ，解得0＜a≤ ．

可得a∈ ．

因此调节参数a应控制在范围

【解析】（1）a= 时，f（x）=|log25（x+1）﹣ |+2，x∈[0，24]，令|log25（x+1）﹣ |=0，解得x即可得出．（2）令f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1= ，再利用函数的单调性即可得出．