题目内容
【题目】某医药开发公司实验室有
瓶溶液，其中
瓶中有细菌
，现需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验
次；
方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为
.
(1)假设
，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；
(2)现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为
.
若采用方案一.需检验的总次数为
,若采用方案二.需检验的总次数为
.
(i)若与的期望相等.试求
关于的函数解析式
;
(ii)若
,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值.
参考数据：
【答案】（1）
（2）（ⅰ）
（ii）8
【解析】
（1）对可能的情况分类：<1>前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，<2>前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；（2）(i)根据
，找到
与
的函数关系；(ii)根据
得到关于的不等式式，构造函数解决问题.
解：（1）记所求事件为
，“第三次含有细菌
且前2次中有一次含有细菌”为事件
，“前三次均不含有细菌”为事件
，
则
，且
互斥，
所以
（2）
，
的取值为
，
，
所以
，
由得
，
所以；
（ii）
,所以
，
所以
，所以
设
，
，
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减
又
，
所以的最大值为8
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