题目内容
【题目】(12分)
已知函数(a为实数).
(1)当时,求函数
的图像在
处的切线方程;
(2)求在区间
上的最小值;
(3)若存在两个不等实数,使方程
成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1).
(2).
(3).
【解析】试题分析:(1)当时,对函数
求导,再分别求出
和
,即可求得函数
的图像在
处的切线方程;(2)先利用导数研究函数
的单调性,再对
进行分类讨论,根据单调性,即可求得
在区间
上的最小值;(3)存在两个不等实数
,使方程
成立等价于
有两个不等的解,令
,利用导数研究函数
的单调性,结合图象,即可求得实数
的取值范围.
试题解析:(1)当时
,
,故切线的斜率为
,所以切线方程为
,即
.
(2) ,
当时,在区间
上,
为增函数,所以
,当
时,在区间
内,
为减函数,在区间
上,
为增函数,所以
.
(3)由,可得
,则
,令
,则
,
因为,所以
,
所以实数的取值范围为
.
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