Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的参数方程为(为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α 与C1，C2 各有一个交点．当 α＝0时，这两个交点间的距离为2，当 α＝时，这两个交点重合．

(1) 求曲线C1，C2的直角坐标方程

(2) 设当 α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当 α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

Answer 1

【答案】（1）C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1，（2）

【解析】

(1)令α＝0和α＝得a,b 值由参数方程与普通方程的互化求解得C1，C2的普通方程；（2）令α＝，得A1，B1的横坐标，利用对称性得A1，B1关于x轴对称，得四边形A1A2B2B1为等腰梯形，利用面积公式求解即可

由题C1 的普通方程为x2＋y2＝1；C2的普通方程为

当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.

当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.

故C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1，

（2）当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.

当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．

故四边形A1A2B2B1的面积为.