题目内容
【题目】如图，在本市某旧小区改造工程中，需要在地下铺设天燃气管道.已知小区某处三幢房屋分别位于扇形
的三个顶点上，点
是弧
的中点，现欲在线段
上找一处开挖工作坑
（不与点
，重合），为铺设三条地下天燃气管线
，
，
，已知
米，
，记
，该三条地下天燃气管线的总长度为
米.
（1）将表示成
的函数，并写出的范围；
（2）请确定工作坑的位置，使此处地下天燃气管线的总长度最小，并求出总长度的最小值.
【答案】（1）
；（2）当
长为
米时，此处天燃气管线的长度最短为
米.
【解析】
（1）利用正弦定理可求得
、，从而得到
，其中
.
（2）利用导数可求
的最小值.
（1）因为
为弧
的中点，由对称性可知，
，
，
又
，
，
由正弦定理，得
，
又
，得
，
，
所以
，
由题意，
的取值范围是
.
（2）令
，，
则
，令
，得
，
列表：
|
|
|
|
|
|
| - | 0 | + | ||
|
| 极小值 |
|
所以当时，
米，
有唯一极小值
.
此时有最小值米.
答：当长为米时，此处天燃气管线的长度最短为米.
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