题目内容
【题目】如图,四棱锥中,
平面
,
为线段
上一点,
,
为
的中点.
(1)证明:
(2)求四面体的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)取的中点
,连接
,证得
,得出
,
即,再用线面平行的判定定理,即可作出证明;
(2)根据题意,得出到
的距离为,得出
,再利用三棱锥的体积公式,即可求得三棱锥的体积.
试题解析:
(1)证明:由已知得AM=AD=2,如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=
BC=2.又AD∥BC,故
,所以四边形AMNT为平行四边形,
于是MN∥AT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.
如图,取BC的中点E,连接AE,由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==
.
由AM∥BC得M到BC的距离为,故S△BCM=
×4×
=2
,
所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=×S△BCM×
=
.
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