题目内容
【题目】已知点,
,直线
与直线
相交于点
,直线
与直线
的斜率分别记为
与
,且
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)过定点作直线
与曲线
交于
两点,
的面积是否存在最大值?若存在,求出
面积的最大值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
面积的最大值为
.
【解析】
试题(Ⅰ)本题求轨迹方程,采用直接法,只要设动点坐标为,求出斜率
,由
化简可得,注意斜率存在时
,最后方程中要剔除此点;(Ⅱ)假设存在,首先直线斜率存在,可设其方程为
,与椭圆方程联立整理为关于
的一元二次方程,同时设交点为
,由可得
,而
,这样可把
表示为
的函数,可由基本不等式知识求得最大值.
试题解析:(Ⅰ)设,则
,
所以所以
(未写出范围扣一分)
(Ⅱ)由已知当直线的斜率存在,设直线
的方程是
,
联立,消去
得
,
因为,所以
,
设,
当且仅当时取等号,
面积的最大值为
.
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