题目内容
【题目】在圆上任取一点
,过点
作
轴的垂线段,垂足为
,点
在直线
上,且
,当点
在圆上运动时.
(1)求点的轨迹
的方程,并指出轨迹
.
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
【答案】(1),椭圆,(2)见解析.
【解析】
(1)设点的坐标为
,由
,可得
,代入
化简即可得结果;(2)设直线
,代入
可得
,利用韦达定理以及中点坐标公式可得
,从而可得结论.
(1)设点的坐标为
,
因为在圆上,所以
设,因为
,且
与
轴垂直,
所以,代入
可得,化为
,
即的方程为
,轨迹表示焦点在
轴上的椭圆.
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+b代入+
=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM==
,yM=k·xM+b=
.
所以直线OM的斜率kOM==-
,
所以kOM·k=-.
故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
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