题目内容
【题目】已知函数(
).
(1)若曲线在点
处的切线经过点
,求
的值;
(2)若在区间
上存在极值点,判断该极值点是极大值点还是极小值点,并求
的取值范围;
(3)若当时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)为极小值点.
的取值范围是
(3)
【解析】试题分析:(1)由导数几何意义得切线斜率为,再根据点斜式写出切线方程,最后代入点
坐标求
的值;(2)由题意转化为对应方程
在区间
上有解,再利用变量分离法转化为求对应函数
值域,即得
的取值范围;最后根据符号变化规律确定该极值点是极大值点还是极小值点,(3)恒成立问题,一般利用变量分离法转化为对应函数最值:
最大值,再利用导数研究函数
最大值,即得
的取值范围.
试题解析:解:(1)对求导,得
.
因此.又
,
所以,曲线在点
处的切线方程为
.
将,
代入,得
.解得
.
(2)的定义域为
.
.
设的一个极值点为
,则
,即
.
所以
.
当时,
;当
时,
.
因此在
上为减函数,在
上为增函数.
所以是
的唯一的极值点,且为极小值点.
由题设可知.
因为函数在
上为减函数,
所以,即
.
所以的取值范围是
.
(3)当时,
恒成立,则
恒成立,
即对
恒成立.
设,求导得
.
设(
),显然
在
上为减函数.
又,则当
时,
,从而
;
当时,
,从而
.
所以在
上是增函数,在
上是减函数.
所以,所以
,即
的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目