题目内容

【题目】已知函数

1)若曲线过点,求曲线在点处的切线方程;

2)求函数在区间上的最大值;

3)若函数有两个不同的零点 ,求证:

【答案】(1;(2)当时, ,当时, ,当时, ;(3)证明见解析.

【解析】试题分析:(1)因为点在曲线上,所以,解得,利用导数求得斜率为,故切线为;(2,将分成四类,讨论函数的单调区间进而求得最大值;(3)不妨设,因为,所以,要证明,即证明,令,即证,令),利用导数求得的最小值大于零即可.

试题解析:

1)因为点在曲线上,所以,解得

因为,所以切线的斜率为0

所以切线方程为

2)因为

时,

所以函数上单调递增,则

,即时,

所以函数上单调递增,则

,即时,

函数上单调递增,在上单调递减,

,即时,

函数上单调递减,则

综上,当时,

时,

时,

3)不妨设

因为

所以

可得

要证明,即证明,也就是

因为

所以即证明

,则,于是

),

故函数上是增函数,

所以,即成立,所以原不等式成立.

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